[알고리즘 정리] 최단경로(Shortest Path)

Shortest Path(최단 경로)는 가중치가 있는 그래프에서 어떤 정점에서 다른 정점으로 이동하기까지 가장 짧은 가중치의 합으로 목적지에 도달하는 방법을 찾기 위한 전략이다.

최단 경로문제는 몇가지 유형으로 나누어진다.

1. Single Source: 하나의 노드로부터 출발해서 다른 모든 노드의 최단 경로를 찾는 문제
2. Single Destination: 모든 노드로부터 하나의 목적지 까지의 최단 경로를 찾는 문제
3. Single Pair: 주어진 하나의 노드로부터 하나의 목적지까지의 최단 경로를 찾는 문제
4. All pair: 모든 노드 쌍에 대한 최단 경로를 찾는 문제

이번 수업에서 주로 다룰 내용은 SSP 라고도 부르는 Single-source Shortest Path 이다.

Lemma

일단 Shortest Path 문제를 어떻게 풀 수 있을지 생각해보자.

명제: 위와 같이 어떤 지점 U로 부터 V까지 가는 경로가 있다고 하고 이 경로가 U에서 V로 가는 가능한 짧은 경로라고 해보자. 즉, 경로 UV는 U에서 V로 가는 SSP의 Global Optimal Solution 이다. 그리고 이 경로 안에 속하는 다른 모든 경로는 해당 지점까지의 최단 경로이다. 즉, Optimal Sub Structure 가 존재한다.

증명: Proof by Contradiction으로 증명해보자. 만약 경로 UV가 최단 경로일 때, 해당 경로에 속하는 subpath 가 Optimal substructure 가 아니라면, 해당 subpath 보다 더 짧은 subpath가 있다는 것을 의미한다. 현재 subpath 보다 짧은 subpath 가 있다면, global optimal solution을 위해서는 해당 subpath을 최종 solution에 반드시 포함해야 하고, 이는 곧 초기에 설정했던 경로 UV가 더 이상 최단경로가 될 수 없음을 의미한다. 따라서 어떤 최단 경로가 있다면, 그 안에 속한 다른 모든 경로들도 최단 경로이다.

Properties

위 증명에 따라 우리는 다음과 같은 결론을 낼 수 있다.

• 어떤 경로 UV가 최단 경로라면, 이 경로의 길이는 그래프 내에 다른 정점들을 거쳐서 오는 모든 경로보다 같거나 작다.

Negative-Weight Cycle

그래프의 최단 경로를 찾는 것은 그래프에 negative-weight cycle 이 없을 때만 가능하다. Negative-Weight Edge는 음수를 가중치를 가지는 간선인데 이 간선이 그래프에 포함되어 있고, 다른 간선과 사이클을 만든다고 생각해보자.

위 그래프에서 정점 A와 정점 B가 만드는 사이클에 도달하게 되면, 사이클을 만드는 두 가중치의 합이 -7이기 때문에, 탐색을 거듭할 때마다. 가중치의 합이 계속해서 작아지면서 결국 -∞ 에 수렴하게 된다. 이렇게 되면 우리는 최단경로를 구할 수가 없게된다.

Other Cycles?

그럼 이런 의문이 들 수도 있다. "단순히 사이클이 문제인가?". 정답은 “아니다” 이다. Negative weight cycle 외에 가능한 다른 사이클들은 다음과 같다.

1. Postivie Weight Cycle: 이 사이클은 탐색을 거듭할수록 양수 값으로 증가하기 때문에 결국엔 +∞ 로 길이가 수렴하게 된다. 우리가 구하고자 하는 값은 최단 거리이기 때문에 어차피 양의 무한대로 수렴하는 사이클이라면 이 사이클을 그냥 무시해도 우리가 최단 경로를 구하는데는 아무 지장이 없을 것이다.
2. Zero-Weight Cycle: 이 사이클은 사이클을 이루는 두 간선의 합이 0일 때 생기는 사이클인데, 이 사이클을 포함하든 포함하지만 않든 전체 최단 경로의 값에 영향을 주지 않기 때문에 고려하지 않아도 된다.

Algorithm Strategy for SSP

여러 알고리즘 접근을 알아보기 전에 SSP 알고리즘 접근에 통용되는 몇가지 용어와 방법들을 정리해보자. 일단 SSP는 어떤 정점에 대해 다른 모든 정점으로의 최단경로를 구하는 전략이라는 것을 기억하자.

Distance

어떤 두 정점 사이의 길이를 저장하기 위해 배열을 사용한다. d[v] 는 시작점으로 부터 정점 v까지의 최단 길이를 저장한다. 따라서 여러 경로가 발견될 때 가장 길이가 짧은 경로의 길이 합을 이 배열에 저장해야한다. 최단 길이를 저장해야하기 때문에 가장 초기값은 +∞로 지정되어야 할 것이다.

Predecessor

어떤 정점에서 최단경로로 연결된 다른 정점을 표현하기 위해서 배열을 사용한다. p[v] 는 최단 경로를 구성하는 정점들 중 v의 부모노드가 되는 정점을 저장한다.

Relaxation

최단 경로를 찾는 문제에서 가장 핵심이 되는 것이 이 relaxation 기법이다. Relaxation은 어떤 한 정점으로부터 연결된 모든 정점을 탐색하고 그 중에서 가장 길이가 짧은 정점을 찾아 Shortest Path를 만드는 것이다.

Relax (u, v, w){
    if(d[v] > d[u]+w)
        then
            d[v] = d[u]+w;
            p[v] = u;
}

수도코드는 위와 같다. 현재까지 알고있던 최단 경로가 s->v 라고 했을 때, s에서 u를 거쳐 v에 도달할 때 그 길이가 더 짧다는 것이 발견된다면, 해당 값을 최단경로로 지정하는 것이다.