[백준 알고리즘] 6588번: 골드바흐의 추측

https://www.acmicpc.net/problem/6588

문제

문제
1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력
입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력
각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 “Goldbach’s conjecture is wrong.”을 출력한다.

풀이

이번 문제는 오늘 풀었던 1644번: 소수의 연속합 문제와 비슷하지만 조금 더 응용한 문제였다. 처음에 생각한 알고리즘은 홀수번째 소수를 모두 더해보면서 가능한 첫번째 조합을 찾는 것이었는데, 이렇게 하면 N^2 의 시간복잡도가 발생하게 되면서 시간초과가 난다. N이 1000000까지 올 수 있다. 따라서 시간을 단축시키기 위해 최선을 다해야 한다.

먼저, 시간을 단축시키기 위해서는 각 테스트케이스마다 에라토스테네스의 체를 수행하는 것이 아니라, 프로그램이 시작되었을 때 딱 한번만 에라토스테네스의 체를 수행해서 소수 테이블을 만들어둔다. 그리고 이 연산을 수행하면서는 짝수번째 숫자들은 모두 건너뛰고 홀수만 체크해도 괜찮다. 왜냐하면 문제에서는 짝수 소수를 전혀 사용하지 않기 때문이다.

테스트 케이스의 안에서는 실제로 모든 소수를 더해보는 연산을 최소화 하기 위해 한 가지 규칙을 사용해야한다. 타겟이 되는 소수가 n 이라고 할 때, b-a가 최대 가 되는 소수는 a가 가장 작은 소수이다. 따라서 a는 홀수번째 소수를 오름차순으로 시도해보고, b 는 모든 소수를 다 검사할 필요없이 n-a 를 수행해서 나온 값이 홀 수 이면서, 소수인지만 확인하면 된다. 만약 두 조건이 모두 만족한다면, 해당 조합은 n을 만들 수 있는 최적의 조합이 된다.

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MAX = 1000001;

int main (){
    ios_base :: sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    vector<bool> primes (MAX, true);

    primes[1] = false;
    for (int i = 3 ; i <= sqrt(MAX) ; i+=2){
        for (int j = i+i ; j <= MAX ; j+=i){
            primes[j] = false;
        }
    }

    while(true){
        bool foundSolution = false;
        int n;
        cin >> n;

        if (n == 0) break;

        for (int i = 3 ; i < n ; i+=2){
            if (primes[i] && primes[n-i]){
                foundSolution = true;
                cout << n << " = " << i << " + " << n-i << "\n";
                break;
            }
        }
        if (!foundSolution){
            cout << "Goldbach's conjecture is wrong.\n";
        }
    }
}