[백준 알고리즘] 2805번: 나무 자르기

https://www.acmicpc.net/problem/2805

문제

문제

상근이는 나무 M미터가 필요하다. 근처에 나무를 구입할 곳이 모두 망해버렸기 때문에, 정부에 벌목 허가를 요청했다. 정부는 상근이네 집 근처의 나무 한 줄에 대한 벌목 허가를 내주었고, 상근이는 새로 구입한 목재절단기를 이용해서 나무를 구할것이다.

목재절단기는 다음과 같이 동작한다. 먼저, 상근이는 절단기에 높이 H를 지정해야 한다. 높이를 지정하면 톱날이 땅으로부터 H미터 위로 올라간다. 그 다음, 한 줄에 연속해있는 나무를 모두 절단해버린다. 따라서, 높이가 H보다 큰 나무는 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 나무는 잘리지 않을 것이다. 예를 들어, 한 줄에 연속해있는 나무의 높이가 20, 15, 10, 17이라고 하자. 상근이가 높이를 15로 지정했다면, 나무를 자른 뒤의 높이는 15, 15, 10, 15가 될 것이고, 상근이는 길이가 5인 나무와 2인 나무를 들고 집에 갈 것이다. (총 7미터를 집에 들고 간다) 절단기에 설정할 수 있는 높이는 양의 정수 또는 0이다.

상근이는 환경에 매우 관심이 많기 때문에, 나무를 필요한 만큼만 집으로 가져가려고 한다. 이때, 적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 나무의 수 N과 상근이가 집으로 가져가려고 하는 나무의 길이 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)

둘째 줄에는 나무의 높이가 주어진다. 나무의 높이의 합은 항상 M보다 크거나 같기 때문에, 상근이는 집에 필요한 나무를 항상 가져갈 수 있다. 높이는 1,000,000,000보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

출력

적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

풀이

문제를 보고 어떤 알고리즘을 사용해야할지 결정하는 것은 정말 어려운 일이라는 것을 다시금 느끼게 되었다. 처음 이 문제를 읽고 DP로 풀어야겠다고 생각하고 이것저것 시도해보았지만, O(N) 만에 풀 수 있는 방법이 떠오르지 않았다. 그래서 질문검색 게시판을 둘러보니 이분탐색으로 풀어야 하는 문제임을 알게되었다. 이분탐색으로 이 문제를 풀 수 있는 이유는 절단기의 높이가 작아질 수록 잘린 나무의 총합이 커지고, 절단기의 높이가 커질수록 수록 총합이 작아진다는 것을 이용할 수 있기 때문이다.

주어진 나무가 20 17 15 10 이라고 하고 가져가야할 나무의 총합이 7이라고 할 때, 절단기의 높이를 10으로 설정하면, 잘린 나무의 총합이 22가 되고, 19으로 설정하면 1이 된다. 따라서 우리는 절단기의 높이를 10보다는 크게, 19보다는 작게 설정해서 잘린 나무의 총합을 7에 가깝게 만들어줄 수 있다.

한가지 고려해야할 부분은 문제의 주인공이 가져갈 수 있는 최대한을 가져가려고 하기 때문에 이분 탐색으로 해당 높이를 찾지 못해도 제일 가까운 값을 만드는 절단기의 높이를 찾아야 한다는 것이다. 따라서 나는 closest 변수를 하나 만들어서 잘린나무의 총합이 찾고자 하는 나무의 총합보다 클 경우에 매번 저장하도록 했다.

코드

' '
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <functional>

using namespace std;

vector<int> trees;

long long calcTree(long long height){
    long long sum = 0;
    for (auto tree : trees){
        long long leftOver = tree - height;
        if (leftOver > 0) sum += leftOver;
    }

    return sum;
}

long long binarySearch(long long target){
    long long begin = 0;
    long long end = trees.back();
    long long closest = 0;

    while(begin <= end){
        long long mid = (begin + end) / 2;
        long long calcResult = calcTree(mid);

        if (calcResult == target) return mid;
        else if (calcResult < target) {
            end = mid - 1;
        }
        else if (calcResult > target){
            closest = mid;
            begin = mid + 1;
        }
    }

    return closest;
}

int main (){
    long long N, M;
    scanf("%lld %lld", &N, &M);

    for (int i = 0 ; i < N ; i++){
        int tree;
        scanf("%d", &tree);
        trees.push_back(tree);
    }

    sort(trees.begin(), trees.end());

    printf("%lld", binarySearch(M));
}