[백준 알고리즘] 1647번: 도시 분할 계획

https://www.acmicpc.net/problem/1647

문제

문제

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 집의 개수N, 길의 개수M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

출력

첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

풀이

이 문제는 유지비를 최소로 하면서 각 도로들을 이어주는 문제임으로, 최소 신장 트리를 만드는 문제임을 알 수 있다. 최소 신장 트리를 만들기 위해서 나는 크루스칼 알고리즘을 사용했다. 크루스칼 알고리즘의 과정은 다음과 같다.

1. 모든 간선의 정보를 모은다.
2. 비용이 낮은 순서대로 정렬한다.
3. 간선 바용이 가장 낮은 순서대로 꺼내서 두 정점을 연결한다.
4. 이때 현재까지 만들어진 트리에 사이클이 생기면 연결하지 않는다.

사이클을 처리하기 위해서 유니온 파인드 자료구조를 사용했다. 유니온 파인드의 유니온 연산에 두 정점의 루트 노드가 같으면 사이클이 발생한다는 의미이기 때문에 false 를 반환해서 사이클을 만들지 않는 간선들의 비용만 모두 합쳐서 최소신장 트리의 비용을 계산했다.

동시에, 문제에서 전체 마을을 두 개로 나누어야 한다는 조건이 있기 때문에 최소 신장 트리를 이루는 간선들 중 비용이 가장 큰 간선을 제거하면 문제에서 요구하는 최소 유지비용을 만족시킬 수 있다.

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int parent[100001];
int level[100001];

int findRoot(int x) {
    if (parent[x] == x) return x;
    else return parent[x] = findRoot(parent[x]);
}

bool merge(int a, int b) {
    a = findRoot(a);
    b = findRoot(b);

    if (a == b) return true;

    if (level[a] > level[b]) swap(a, b);

    parent[a] = b;

    if (level[a] == level[b]) level[b]++;

    return false;
}

int main() {

    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    int N, M;

    cin >> N >> M;

    vector<pair<int, pair<int, int>>> edges;

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;

        edges.push_back({ c, {a, b} });
    }

    sort(edges.begin(), edges.end());

    int totalCost = 0;
    int maxCost = 0;
    for (auto edge : edges) {
        if (!merge(edge.second.first, edge.second.second)) {
            totalCost += edge.first;
            maxCost = max(maxCost, edge.first);
        }
    }

    cout << totalCost - maxCost;
}