Divide and Conquer, 분할정복은 큰 문제를 여러 개의 작은 문제로 쪼개고 쪼개서 해결하는 방법이다. 일반적으로 Divide and Conquer는 recurrence equation으로 표현할 수 있는데, 우리는 이 수식을 통해서 알고리즘의 time complexity 를 구할 것이다.
\n위와 같은 식을 우리는 recurrence equation 이라고 한다. 식을 보면 T(n) 이 T(n/2) 로 작아지는 것을 볼 수 있다. 이런식으로 n 은 재귀를 거듭할때마다 작아질 것이다.
\n이런 recurrence equation을 통해 알고리즘을 분석하는 방법은 네 가지가 있다.
\n첫번째 방법은 substitution method이다. 이 방법을 사용하려면 사실 어느정도 알고리즘에 숙련되어 있어야한다. 왜냐하면 분석의 첫 시작을 solution 의 form 을 추측하는 것으로 시작하기 때문이다. 주어진 수식을 보고 어떤 알고리즘일 것이다라고 가정을 세우고 그것이 맞는지 확인해가는 작업을 거친다.
\n위 예를 보면, 3T(n/4) 이기 때문에 총 세 개의 c(n/4)를 만들수 있고 이런식으로 계속 노드를 아래로 늘려가다보면 T(1)이 되는 노드들이 나올 것이다. 이렇게 하면 일단 1단계인 recurstion tree를 만드는 것은 완료이다.
\n이제 2단계인 각 level의 cost를 구해야하는데, 그림의 오른쪽에 보다시피 우리가 구한 노드들의 n을 나열해보면 1/4^n 씩 늘어나는 것을 알 수 있다. 따라서 높이를 h로 두었을 때 마지막 노드는 1/4^h n 으로 나타낼 수 있다. 이것을 h에 대해서 정리하면, 우리는 이 트리에 높이를 log4n으로 표현할 수 있을 것이다.
\n각 레벨의 노드의 개수는 3의 거듭제곱씩 늘어나기 때문에 제일 아래에 위치한 노드들의 갯수는 3log4n 이 되고 이것을 로그의 성질에 따라 정리하면 nlog43 으로 나타낼 수 있다.
\n따라서 3단계에 따라 모든 cost들의 합을 계산하면 cn2 부터 (3/16)log4n-1cn2 + 𝛩(nlog43) 의 합을 구하면 되고 이는 등비수열에 해당하기 때문에 공식을 따라서 계산하면 된다. 그러면 그 결과로 우리는 T(n)이 𝛩(n2)의 복잡도를 가지는 것을 확인할 수 있다.
\niteration method 는 우리가 가진 재귀 수식으로 새로운 수식을 만들어 나가는 방식으로 문제를 해결하는 것이다.
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