Shortest Path(최단 경로)는 가중치가 있는 그래프에서 어떤 정점에서 다른 정점으로 이동하기까지 가장 짧은 가중치의 합으로 목적지에 도달하는 방법을 찾기 위한 전략이다.
최단 경로문제는 몇가지 유형으로 나누어진다.
\n이번 수업에서 주로 다룰 내용은 SSP 라고도 부르는 Single-source Shortest Path 이다.
일단 Shortest Path 문제를 어떻게 풀 수 있을지 생각해보자.
\n위 그래프에서 정점 A와 정점 B가 만드는 사이클에 도달하게 되면, 사이클을 만드는 두 가중치의 합이 -7이기 때문에, 탐색을 거듭할 때마다. 가중치의 합이 계속해서 작아지면서 결국 -∞ 에 수렴하게 된다. 이렇게 되면 우리는 최단경로를 구할 수가 없게된다.
\n그럼 이런 의문이 들 수도 있다. "단순히 사이클이 문제인가?". 정답은 “아니다” 이다. Negative weight cycle 외에 가능한 다른 사이클들은 다음과 같다.
여러 알고리즘 접근을 알아보기 전에 SSP 알고리즘 접근에 통용되는 몇가지 용어와 방법들을 정리해보자. 일단 SSP는 어떤 정점에 대해 다른 모든 정점으로의 최단경로를 구하는 전략이라는 것을 기억하자.
\n어떤 두 정점 사이의 길이를 저장하기 위해 배열을 사용한다. d[v] 는 시작점으로 부터 정점 v까지의 최단 길이를 저장한다. 따라서 여러 경로가 발견될 때 가장 길이가 짧은 경로의 길이 합을 이 배열에 저장해야한다. 최단 길이를 저장해야하기 때문에 가장 초기값은 +∞로 지정되어야 할 것이다.
어떤 정점에서 최단경로로 연결된 다른 정점을 표현하기 위해서 배열을 사용한다. p[v] 는 최단 경로를 구성하는 정점들 중 v의 부모노드가 되는 정점을 저장한다.
최단 경로를 찾는 문제에서 가장 핵심이 되는 것이 이 relaxation 기법이다. Relaxation은 어떤 한 정점으로부터 연결된 모든 정점을 탐색하고 그 중에서 가장 길이가 짧은 정점을 찾아 Shortest Path를 만드는 것이다.
Relax (u, v, w){\n if(d[v] > d[u]+w)\n then\n d[v] = d[u]+w;\n p[v] = u;\n}수도코드는 위와 같다. 현재까지 알고있던 최단 경로가 s->v 라고 했을 때, s에서 u를 거쳐 v에 도달할 때 그 길이가 더 짧다는 것이 발견된다면, 해당 값을 최단경로로 지정하는 것이다.
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