{"componentChunkName":"component---src-templates-blog-post-js","path":"/Algorithm-Analysis/2020-05-17-알고리즘-SSP-다익스트라알고리즘(Daijkstra)/","result":{"data":{"site":{"siteMetadata":{"title":"Hun's Footsteps 🥷","author":"전여훈","siteUrl":"https://jeonyeohun.netlify.app","comment":{"disqusShortName":"","utterances":"jeonyeohun/jeonyeohun.github.io"},"sponsor":{"buyMeACoffeeId":"jeonyeohun"}}},"markdownRemark":{"id":"a2ee7ba0-3c28-57cf-b16c-8ffa147365fc","excerpt":"다익스트라 알고리즘은 SSP 문제를 해결하기 위한 알고리즘 중 벨만-포드 알고리즘에 비해서 속도가 더 빠른 알고리즘이다. 하지만 음수 간선이 있을 때는 해답을 찾지 못한다. 그래서 만약 알고리즘 문제에서 음수 간선이 입력으로 주어진다면 벨만-포드 알고리즘을 사용해야하고, 양수 간선으로만 이루어진 그래프가 주어진다면, 벨만-포드 알고리즘과 다익스트라 알고리즘을 모두 사용가능하지만, 속도가 더 빠른 다익스트라를 사용하도록 하자. Algorithm Concept 다익스트라 알고리즘은 BFS…","html":"

다익스트라 알고리즘은 SSP 문제를 해결하기 위한 알고리즘 중 벨만-포드 알고리즘에 비해서 속도가 더 빠른 알고리즘이다. 하지만 음수 간선이 있을 때는 해답을 찾지 못한다. 그래서 만약 알고리즘 문제에서 음수 간선이 입력으로 주어진다면 벨만-포드 알고리즘을 사용해야하고, 양수 간선으로만 이루어진 그래프가 주어진다면, 벨만-포드 알고리즘과 다익스트라 알고리즘을 모두 사용가능하지만, 속도가 더 빠른 다익스트라를 사용하도록 하자.

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Algorithm Concept

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다익스트라 알고리즘은 BFS에 간선 거리를 추가한 것과 비슷하다. 다익스트라 알고리즘은 두 개의 정점 집합을 사용한다.

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  1. S : 해당 지점까지의 최단 경로가 이미 구해진 정점들
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  2. Q : S에 속하지 않는 나머지 모든 정점들
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그리고 알고리즘은 아래 순서로 진행된다.

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  1. 시작점을 제외한 모든 정점의 최단거리를 양의 무한대로 초기화한다. 시작점은 0으로 초기화 한다.
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  2. 모든 정점을 집합 Q에 넣는다.
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  3. Q에서 가장 최단거리가 짧은 정점을 꺼낸다. 이 작업을 더 빠르게 하기 위해서 우선순위 큐를 사용하자.
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  4. 꺼낸 정점과 이어진 모든 정점에 대해 Relaxation을 수행한다. Relaxation은 여기에 정리되어 있다.
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  5. 집합 Q가 빌 때까지 위 과정을 반복한다.
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시작 지점에서부터 인접해 있는 모든 정점들에 대해 최단거리를 계산하고, 그 다음으로 이동하는 정점의 위치는 최단거리가 가장 짧은 정점이 되기 때문에 이 방법을 사용하면 그 순간 우리가 검사하고 있는 정점에 대한 최단경로를 계속해서 더해가는 방식이다. 따라서 이 알고리즘은 Greedy Algorithm의 성격을 가진다.

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Example

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  1. 우선 각 정점이 가지는 최단거리 값을 양의 무한대로 초기화 해준다. 이때 시작점의 최단거리는 0으로 초기화 한다.
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  2. 모든 정점을 Q 에 넣는다.
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Phase 2

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  1. 최단거리 값이 가장 작은 정점을 꺼낸다. 우선순위 큐를 사용하면 손쉽게 꺼낼 수 있다. 가장 처음에는 시작점을 제외한 모든 정점들의 최단거리가 양의 무한대로 설정되어 있기 때문에 당연하게도 시작점이 추출된다.
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    A가 나왔기 때문에 A와 인접한 다른 모든 정점들을 방문해서 Relaxation으로 최단거리를 업데이트 한다. A와 인접한 정점들을 다 체크해보면,

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  3. 최단거리가 변경되었기 때문에 우선순위 큐의 루트노드도 변경되었음을 생각하자.
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Phase 3

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이제 본격적으로 시작이다.

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  1. A의 노드들에 대한 검사가 끝났기 때문에, 다시 큐에서 최단거리가 가장 짧은 정점을 꺼낸다. 이때 B의 최단거리가 가장 짧기 때문에 B가 선택된다.
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  2. B와 연결된 정점들에 대한 Relaxation을 진행한다. B는 C와 연결되어 있기 때문에 Relaxation을 끝내면 C의 최단거리는 9 + 20 = 29으로 갱신된다.
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Phase 4

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다음 정점은 E이다. E와 연결된 정점은 F 하나 뿐인데, F에 저장되어 있는 최단거리는 21이다. E를 통해 F로 가게되면 최단거리가 15 + 20 = 35가 되기 때문에 이번에는 최단거리를 업데이트 하지 않고 끝낸다.

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Phase 6

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다음으로 검사할 정점은 F이다. 그렇지만 F와는 연결되어 있는 정점이 없기 때문에 곧바로 끝낸다.

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Phase 7

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한번 더 진행해보자. 우선순위 큐에서 정점하나를 더 뽑아오면, C가 나온다. C는 F와 연결되어 있지만 C를 거쳐 F로 가는 최단거리는 24 + 15 = 39 이다. 따라서 현재 F의 최단거리를 유지한다.

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Alogrithm Analysis

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다익스트라 알고리즘은 우선순위 큐를 사용하기 때문에 어떤 종류의 우선순위 큐를 사용하는지에 따라서 속도가 달라진다. 가장 일반적인 Binary Heap 을 사용하게 되면 각 연산은 O(lg V) 의 시간이 요구되므로 이 연산을 모든 relaxation에 대해 진행하기 때문에 전체 시간 복잡도는 O(E lg V) 가 된다.

","frontmatter":{"title":"[알고리즘 정리] 다익스트라 알고리즘(Daijkstra Algorithm)","date":"May 17, 2020"}}},"pageContext":{"slug":"/Algorithm-Analysis/2020-05-17-알고리즘-SSP-다익스트라알고리즘(Daijkstra)/","previous":{"fields":{"slug":"/Problem-Solving/2020-05-17-1753번-최단경로/"},"frontmatter":{"title":"[백준 알고리즘] 1753번: 최단경로","category":"Problem-Solving","draft":false}},"next":{"fields":{"slug":"/Algorithm-Analysis/2020-05-17-알고리즘-SSP-DAG/"},"frontmatter":{"title":"[알고리즘 정리] DAG에서 최단경로를 찾는 법","category":"Algorithm-Analysis","draft":false}}}},"staticQueryHashes":["2486386679","3128451518"]}